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一维玻色援园斯坦凝聚中暗孤子的演化特性斥和吸引相互作用是粒子

2018-02-25 04:56

  一维玻色援园斯坦凝聚中暗孤子的演化特性斥和吸引相互作用是粒子质量 对于由 个有相互作用的玻色子组成的体系 假设该体统处于外势 二中 则该系统的二次量子化哈密顿量为膏 分别为玻色场中粒子在处的湮灭和产生算子 系统的基态以及热动力学特性可以通过 式给出的哈密顿量直接计算出来。原则上 在允许统计误差的范围

  一维玻色援园斯坦凝聚中暗孤子的演化特性斥和吸引相互作用是粒子质量 对于由 个有相互作用的玻色子组成的体系 假设该体统处于外势 二中 则该系统的二次量子化哈密顿量为膏 分别为玻色场中粒子在处的湮灭和产生算子 系统的基态以及热动力学特性可以通过 式给出的哈密顿量直接计算出来。原则上 在允许统计误差的范围内 通过计算可以得出精确结果。但是 当系统的粒子数 很大时 计算常繁杂的 甚至是不可行的。平均场理论【 】可以方便有效地解决这个问题。早在 就提出了利用平均场近似来描述稀薄玻色气体的基本思想他把玻色场算符分成两部分【 其中、王是复函数 呦。我们可以通过单粒子的密度算符的对角化引入和理解甲。对于玻色子体系 单粒子的动量量子数是好量子数。在坐标下 单粒子密度矩阵的非对角元是 其中是体积 对于费米子和玻色凝聚温度以上的玻色子来说 在凝聚温度以下零动量态上的粒子数是‰ 其中 是总粒子数 口是个有限的分数。于是 所以本质上玻色一爱因斯坦凝聚就是单粒子密度矩阵的非对角元在长波极限下为非零值。推广到多个有相互作用的玻色子系统 如果当 我们称这个系统具有非对角长程序复函数甲 即“凝聚体波函数”是 的序参量 它的模就是凝聚体的密度 通常是个小量。实验中的可以第二章非线性薛走诲方程和 中的孤子做的很纯。在极低的温度下 已能制备纯度高达 以上的 热原子几乎不动。对于均匀气体 。…。’再用经典场甲代替场算符痧 就得到了序参量甲 这就是著名的方程。它是由 各出的也称为非线性薛定谔方程即 。我们也可以通过能量变分琥昙甲 西卿‘得到方程 其中能量泛函为占 其中第一项为凝聚态的动能点第二项为谐振子势能五 第三项为互相作用能‰。非线性薛定谔方程的适用条件是 波散射长度比原子间距小的多 并且凝聚体中的原予数远大于 。在忽略量子与热涨落等条件下 它描述了在低温下凝聚体系统的宏观行为 它是理论和实验中研究 非线性动力学和很多特性的出发点。因此 要进一步认识 并研究原子的非线性激发 寻求非线性薛定谔方程的解析解就成为一个非常有意义 而且常有必要的 作。但是 一般说来 对一个非线性演化方程 只有在极少数非常特殊的情况下才可能求得其解析解。因此 要选取什么方法来解 方程就成为人们非常关注的问题。其中常见的方法有 反散射方法【 变换法、直接方法、行波法刚、 变换法【 爱因斯坦凝聚中暗孤子的演化特性非线性偏微分方程在大多数情况下 我们需要借助于数值分析方法来对其求解。一般来说 数值方法有有限差分法和分步 方法 见附录】 本文中我们将采用分步 方法对非线性薛定谔方程求解。在平均场近似下 当凝聚体波函数为定态时 其中为化学势 是实函数它满足归一化条件 方程就可得到凝聚体的定态方程 容易看出当粒子间不存在相互作用时 方程 就退化成为单粒子的定态薛定谔方程。利用方程 可以确定系统的基态波函数 在计算凝聚体的基态能量时 如果凝聚体中的粒子数很大 并且粒子间的相互作用为相互作用时 系统的动能与作用势相比变的很小 可以忽略。这样 我们就可以把系统的动能项忽略掉 这个近似方法叫做 近似。在凝聚体系统的粒子数很多且粒子问的相互作用为力时 这个近似常有效的。因此 近似下圈方程 就变为畦 由此我们可以解得粒子的密度表达式以 式可以看出有无粒子分布的边界条件是矿 则没有原子云的分布。我们知道化学势是在保持熵和体积不变的情况下 系统每增加一个粒子所需的能量。因此 近似下所描绘的物理图象是将一个粒子增加到原予云中任意一点所需的能量都是相等的。从非线性薛定谔方程 出发 我们还可以得到凝聚体的流体动力学方程 得到一个方程这个方程与它的复共轭方程相减可得到 第二章非线性薛定谔方程和 中的孤子掣 该方程与连续性方程具有相同的形式因此可以写作娶 其中珂爿掣凝聚体的速度定义为 一甲由此可得 这为我们理解凝聚体的速度等性质常有帮助的。事实上由于 系统具有高度相干性 所以用单变量复函数、壬 来描述 系统。这里 所及的范围是整个体系的宏观尺度 而且涉及宏观的量子数 所以掣 也被称为宏观波函数。甲 也描述了 系统的相位相干性 因此 可以把、壬 写成振幅和相位分离的形式甲 其中为振幅 满足疗 妒为相位 把表达式代入到方程 并把实部和虚部分开 可以得到箪 一旦 是连续性方程的另一种表达式 它含有了新的变量 从方程可以进一步研究凝聚体的速度等特性。从 方程出发 还可以研究很多 的其它特性。实际上 爱因斯坦凝聚中暗孤子的演化特性理学的很多领域都有广泛的应用例如光学领域、水的波动、等离子物理等。寻求 方程的解并用它探索和解释物理现象 一直是人们关注的问题。 中的孤子孤子是 世纪 年代非线性科学的重要发现 它是由于非线性效应和色散效应精确平衡的结果 可以使波在演化过程中保形、无弥散。它的起源可以追溯到 世纪中叶 英国工程师 观察到河面上单个凸起的水团 这个水团可以保形运动一、二英里 认为这种孤立的波动是流体运动的一个稳定解并把它称为“孤立波 年后荷兰著名数学家 和他的学生 研究浅水波的运动导出 方程并给出了与 描述一致的 具有形状不变的孤立波解 才在理论上了孤立波的存在 。但是 这种孤立波的稳定性以及动力学碰撞成为摆在人们面前的又一令人困惑的问题。直到 用数值模拟方法详细分析了等离子体中孤立波碰撞的非线性相互作用过程得到了完整的结果 了这类孤立波相互作用后不改变形状 具有类似于粒子碰撞后不变的性质。因此他们把这种孤立波命名为孤立子 简称孤子 。其实 孤立波解存在于一切非线性方程中。孤波现象存在于很多领域 例如光纤通信、分予系统、生物系统等都与孤子有关。在弱相互作用的玻色一爱因斯坦凝聚中 也可以形成孤子。对于低温稀薄气体 两粒子问的碰撞用参量 波散射长度 。来表征 粒子间的相互作用为势这时 中可以产生暗孤子 粒子间的相互作用为吸引势这时可以产生亮孤子。目前的 实验中所用多是自旋量子数为整数的碱金属气体。这是由于碱金属原子有三个吸引入的特性。第一 通过激发容易得到共振线。由于原子气云是和时间的函数 因此可以利用光散射使得原子气云的能量和密度更加明显 从而可以容易地获得样品的有关信息。第二 碱金属原子间的相互作用相对于其它原子较弱。第三 碱金属原子之问的相互作用可以通过对自旋态的选择、态密度以及外势场的应用加以改变。在某些碱金属的 孤子已经实现。暗孤子实验上 已经实现了” 原子的暗孤子。在 原子凝聚中 由于第二章 线性薛定谔方程和 中的孤子原子之间的相互作用为力 因此 可以产生暗孤子。在 暗孤子实质上是凝聚体中的一个下陷所以实验上用打印植 的方法来实现凝聚态相位的改变 从而在凝聚体中形成 个下陷 形成暗孤子。实验过程大致为 态的大约个原子组成的凝聚体置于三维磁势阱中 磁阱频率为 这时系统相位均匀分布。将光强分布为 的激光迅速地打在凝聚体上 这样 就在光阱中有了新的相分布伊 相分钿妒 与光强分布 成正比。我们把这种使 系统瞬间获得相位改变的方法叫做打印相法。这种瞬间脉冲作用带来的打印相使得仞始波函数有了改变 。用吸收成像技术得到的暗孤子随时间的演化【刀如图 所示。图中一行是实验结果下面一行是相应的数值模拟结果 其中在数值模拟中我们取妒 两者结果非常一致。结果表明暗孤‘子可以稳定地传输。 亮孤子图 暗孤子的演化。上行为实验结果下行为数值模拟结果 粒子数为 光脉冲持续时间为 通过调节 可以使碰撞原子的态和能量接近零的准的共振耦合 这就是 共振【 】。它能够强烈地影响原子的散射长度 既可调节正负 凝聚中暗孤了的演化特性也可调节大小因此 可以使散射长度由正变负 即相互作用由变为吸引。当 系统中的粒子间的作用为吸引势时将呈现出不稳定性。如果粒子密度 太大系统就会塌陷【 】。只有当系统中的粒子密度和系统所处势阱满足一定的条件时 才可以产生亮孤子并且稳定地传输。 小组采用共振和光波导技术在’ 原子的 中实现了亮孤子的输出。要产生亮孤子 必须先使 乜原子形成处于 这种态下通过中的 共振调节散射长度使原予间的相互作用有势变为吸引势 最后将其到一维光波导中进行无色散地传输。它可以在水平波导中传输 这样就形成了一个亮孤子。具体实验装置可参考文献 为理想气体的演化 为亮孤子在维波导中的传输随后 小组又在实验中观测到了由 个孤子组成的孤子串 其结果如图 不弥散地保形传输这就意味着亮孤子的产生。第二章非线性薛定谔方程和 中的孤子图 亮孤子串的产生。当吼 不弥散地保形传输形成孤子串一维玻色 爱渊斯衄凝聚中暗孤了的演化特性第三章一维 中暗孤子在抛物势阱中的动力学上一章 我们阐述了平均场近似下 低温 的时空演化方程——非线性薛定谔方程。本章将研究抛物势阱中 的动力学特性。我们给出一维 中的暗孤子的运动方程 并由此讨论暗孤子的动力学演化。同时 通过数值模拟讨论暗孤子在抛物势阱中的相互作用。 抛物势阱中一维波色一爱因斯坦凝聚体模型激发现象是 中的一个非常引人注目的特性。 中的激发类型性激发‘ 、非线性激发 、涡旋、凝聚体的大振幅振荡等。实验上可以通过改变势参数、用激光束击打凝聚体或 共振技术等方法在 中产生激发。丽孤子正线性物质波的存在形式 这包括了暗孤子 和亮孤子 。从上一章我们知道 可以产生暗孤子当粒子闽散射长度口。 对应吸引互作用 可以产生亮孤子。散射长度的控制与调节可以通过共振实现。在平均场近似下 玻色爱因斯坦凝聚体非线性激发的演化特征由 方程来描述 通常也称为非线性薛定谔方程。从该方程出发 人们对处于不同外势中的 中的非线性激发做了大量的研究 其中包括了玻色一爱因斯坦凝聚中孤立子的动力学行为、有关操控和控制孤立子波参数技术等。这对于开展玻色一爱因斯坦凝聚体的具体应用具有重要意义。在抛物势阱中 玻色爱因斯坦凝聚体非线性激发的演化特性可由方程来描述【 是凝聚体波函数其中 是原子的质量 璐是原子间 波散射长度 纳和妞分别表示抛物势阱在纵向和横截面方向的频率。我们讨论相互作用的情况 此时对应着 。在三维的实验装置中 我们可以增大横截面方向上的频率钆 使得蛆远大于纵向振动频率痂 这样一来在横截面上的能量间隔就要远大于纵向上的能量问隔 从而粒子在横截面上的跃迁要比第三三章一维 中踣孤子在抛物势阱中的动力学纵向上的跃迁困难的多 所以粒子的运动就被近似的看成是被在纵向上了。我们把这种改进后的系统当成是准一维的玻色系统。在理论上这种设计是可行的 但在实际的操作中可能还要加以进一步的改进。下面我们就来讨论准一维的情况。当九 是纲时间和空间变量 表示凝聚体在横截面方向的新的度量单位这样方程 可以简化如下形式的一维模型 …下面我们将借助方程来讨论 中暗孤子的动力学演化彳亍为。为此考虑函数变换 这样方程可以写成 掣一三 其中是与化学势有关的纲参数。我们将从该方程出发 考察暗孤子的动力学特性。 暗孤子中心的运动对于粒子 即无外势作用的情况下 方程 存在形如茁 的定态暗孤子解。然而在抛物势阱中暗孤子是如何演化的它们的相互作用如何 一直以来是我们关心的问题。为此我们考虑暗孤子的如下形式缈 其中表示孤子中心的 口为孤子中心的速度。在相空『自 方程的解所对应的能为【 扣一三 当能为守衡量时可以得到毒

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